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这个“不科学”的问题,曾让大数学家欧拉出丑

在18世纪,科学家成功解说了行星环绕太阳的运动,就像其时的英国人约瑟夫·赖特在这幅画中描绘的那样。但学者们仍在苦苦思索着这种运动的一个幻想特例:一个质点向着引力中心的下落运动。现在,科学家对“奇点”现…

在18世纪,科学家成功解说了行星环绕太阳的运动,就像其时的英国人约瑟夫·赖特在这幅画中描绘的那样。但学者们仍在苦苦思索着这种运动的一个幻想特例:一个质点向着引力中心的下落运动。

现在,科学家对“奇点”现已习以为常,他们知道,这些点是自己的理论不再适用的当地。但 18 世纪的学者没有意识到这一点,在评论经典力学中一个非常简略的问题时,他们也遭受了一个奇点。为了处理这个经典力学框架下实践上无法处理的问题,包含大数学家欧拉在内的学者们想出了一些八怪七喇的办法,得出了非常荒唐的定论。科学家花费了一个世纪才认识到这种研讨是白费的:在奇点,理论遭受了其极限。

撰文 | 雅克·加帕亚尔

翻译 | 邓艺杭

在天体物理学中,黑洞是一个极为细密的时空区域,没有物质能从中逃逸,乃至连光都不行。这些特别的天体代表了时空的奇点,它们是引力的数学理论——广义相对论无法描绘的区域。奇点存在于许多数学领域中,咱们在研讨曲线和曲面、复变函数以及微分方程时常会遇到它们。现在,科学家知道奇点一般是超出他们的理论适用范围的。但曩昔并非如此,科学家开端遭受奇点时,乃至给出了一些根据不合理证明的古怪处理方案。18世纪时,闻名数学家让·勒朗·达朗贝尔和莱昂哈德·欧拉在研讨经典理论力学的一个简略问题时就遇到了奇点,这类似于一维空间中的一个点状黑洞,他们没有想到这个奇点会带来多大的困难。

扎手的问题

这个问题考虑的是一个质点向另一个质点下落的状况。在经典力学中,为了便利,咱们往往凭借幻想的质点来考虑问题,即一个具有质量的几许点。根据牛顿引力定律,空间中一个固定方位O上的质点,对另一个与之相距r的质点P施加的引力与r^?成反比。在r ≠ 0的状况下,这一点是建立的。但当r变为0时,质点P遭到的引力就无法界说了,因而关于点P来说,点O便是奇点地点的方位。

在这里,引力中心O被视为笼统的朴实几许点,这个点上不存在任何物质实体。这是一种真实国际中不行能存在的状况。但这不阻碍咱们考虑这样一个数学问题:质点P在O的引力效果下是怎么运动的。

关于这种条件下的质点运动,牛顿在《自然哲学的数学原理》中现已给出了一个模型:假定在某个给定时刻,质点P在O点之外运动,速度不为0且不在直线OP方向上,那么点P将会沿抛物线或双曲线运动,或许以椭圆轨道环绕O旋转,就像那些绕太阳公转的行星那样,并且这三种圆锥曲线的焦点都在O上。但真实让学者困扰的状况是,当质点P在质点O以外以0初速度开释时,它会直接落向点O。核算显现,点P会在有限时刻内抵达点O,此刻它的速度会添加到无量大。

这之后呢?点P抵达点O之后会产生什么呢?一方面,P好像只能跳过点O沿着这条直线持续运动,由于它此刻运动速度极快。还有什么能比无量大的速度更快呢?另一方面,跟着点P不断挨近点O,它遭到点O的引力不断增大。到点P抵达点O时,引力会添加至无量大,这时点P就无法从点O逃逸出来。那么,无量大的速度和并不亚于它的引力,哪一个会占有优势呢?

经典力学领域的权威专家保罗·阿佩尔用他自己的办法处理了这个问题。在他的《经典力学教程》,还有后来闻名的《经典力学》中,他给了一个解说,指出质点P是不行能抵达引力中心的,由于“这个运动物体挨近点O时,速度无限添加,这显着是无法完成的:在这两个物体间隔为0之前,它们会先产生磕碰。”可是这一解说底子没有答复上文提出的那个朴实理论问题。咱们都知道,在这个问题里,引力中心仅仅是一个几许学上的点。

达朗贝尔的答案

其时法国最巨大的数学家达朗贝尔,在他的《数学手册》第七卷中论说了这一扎手的问题:“很显着,会跳过,并不断远离,直到它与点O间的间隔与它开端运动时的间隔持平。之后,它将重复这个进程,不断振动。”也便是说,运动物体P会在直线方向上以引力中心点O为中心来回振动。实践上,达朗贝尔刚接触到该问题,就马上毫不迟疑地得出了这样的定论:运动物体将会跳过引力中心持续沿直线运动。他只从动力学方面考虑,由于物体在点O取得无量大的速度,这个运动必将持续下去。但他没有考虑到,在点O,引力也会添加到无量大。

让·勒朗·达朗贝尔以为,在点A开释的质点遭到引力中心O的招引而运动时,会穿过点O,持续运动到点A关于点O的对称点A',然后再掉头回来,在点A和点A'之间来回振动。

在1780年出书的作品中,达朗贝尔给出了质点振动这个答案,但在同一本书中他也介绍了欧拉得出的另一个答案。欧拉,这位18世纪最闻名的瑞士数学家先于他的法国同行,得出了一个达朗贝尔自身没有想到,但也不服气的定论。后者在书中写道:“欧拉先生在《力学》一书中提出,一个直接落向的物体,当中心对它的效果力与间隔的平方成反比时,会在抵达后原路回来。但很显着,这位巨大的几许学家在这点上是过错的。”

毫无疑问,其时与欧套近乎疏远的达朗贝尔很乐于否定欧拉的成果,他称这个定论很荒唐。欧拉是怎样得出这个定论的,的确让人猎奇,因它太反直觉了,居然以为物领会在速度无量大时忽然掉头。这个定论没有考虑两个引起争议的无量很多,不管是质点P在点O时沿下落方向的速度,仍是它在这点遭到的引力。

欧拉的独特定论

凭借牛顿从前用过的办法,欧拉在用拉丁语编写的《力学》的第一卷中评论了这一问题。首要,他假定在初始时刻,质点P坐落点A,且有一个垂直于OA方向的初速度VA,因而它的移动轨道将会是一个椭圆,长轴为AA',O是其间一个焦点。之后,欧拉假定垂直于OA的速度VA不断减小直到零。这样,椭圆就会不断变扁,同时点A'会不断挨近点O,当VA减为零时,椭圆会与线段OA重合。

莱昂哈德·欧拉提出了一个与达朗贝尔不同的定论:他首要幻想质点有一个垂直于OA且不为0的速度VA,因而它的运动轨道会是一个焦点为O,长轴为AA'的椭圆。接着,他减小速度VA,直到它变成0,这样椭圆就会不断变扁,这时,点A'就会不断挨近点O。当椭圆扁到极限时,椭圆轨道上的运动就会变为点A和点O之间来回的直线运动,完全不一样了。

通过把轨道的几许形状和点P的运动速度面向极限,欧拉得到了这个独特的定论。当然,他这个取极限的办法也没什么根据。并且就像达朗贝尔那样,欧拉也设定O是笼统的几许点,没有任何真实物体,而要有个物体的话,至少在某种程度上可以证明点P回弹是合理的。此外,这个解说显着给引力中心赋予了一种斥力,一些牛顿力学的对立者责备椭圆运动中也存在这样的悖论。他们不了解,为什么每颗行星都会花费一半的时刻远离招引着它的太阳。

拉普拉斯:不置可否的谐和

像欧拉和达朗贝尔这样两个其时最出色的理论学者,却在这样一个看起来非常一般的力学问题上得出了相反的定论。显着,这个问题并不简略。但毫无疑问,他们的晚辈很快会测验完结这场科学争辩。1799年,皮埃尔·西蒙·拉普拉斯,这位世纪之交的重要数学家在他的《天体物理》一书中论述了他的观念。

拉普拉斯先是回忆了不断压扁椭圆,通过取极限来核算物体落向引力中心的运动规则的办法。接下来,他着重:“朝向焦点的椭圆运动与被压扁到极限的椭圆轨道上的运动有着实质的差异。在前一种状况下,物领会跳过焦点,然后会飞到和开始方位相同远的当地;后一种状况下,物领会通过焦点,然后回到开始点。若在远日点,物体具有一个运动轨道切线方向的速度,不管这个速度多小,它都会引起这种差异。但这种差异不会影响物体抵达焦点所用的时刻。”

不管是原文,仍是把笔误“椭圆运动”更正为“直线运动”之后,这段话都显得非常含糊。靠着不指名道姓地声称达朗贝尔和欧拉都是对的,拉普拉斯好像完成了一个豪举,谐和了不行谐和的对立。实践上,虽然他对达朗贝尔的定论没有任何贰言,可是他使用了欧拉的证明方法。他引进了无量扁的椭圆这一风趣的概念,意思便是说,这是一种咱们能幻想到的最扁的椭圆,但它没有完全变扁,没有变成欧拉所说的线段。拉普拉斯一向在他的言辞中保持着一种不置可否,他说“物体抵达焦点”,但严格来说物体不会通过焦点,由于它的轨道是一个椭圆。终究,这个惊人的言辞虽然有显着的笔误,可是人们以为他与达朗贝尔的观念是共同的,后者的定论在很长时刻内都是干流观念。

在《数学史》的第二卷中,让·艾蒂安·蒙蒂克拉也对质点P向引力中心点O直线运动的问题进行了研讨。他说到了牛顿,但没有提及欧拉,他也以为这种运动是一种极限状况下的椭圆运动,并总结道:“物体不会跳过。”可是又他弥补道:“咱们也能确认它不会回头。由于没有任何能让它反向运动的要素。”蒙蒂克拉明确地对立了欧拉的定论,可是他也早就表达了对达朗贝尔定论的对立,由于在他看来,抵达点O的质点P会停在那里。

这个令人意想不到的观念,乃至比欧拉的观念更让人困扰,由于这意味着要在瞬间消除一个理论上无量大的速度。实践上,蒙蒂克拉发现,假定与点O相距r的点P在一个与r2成反比的力f的效果下,不断接近点O,那么当r趋近于0时,它的速度V会比这个力f添加得慢。由于,这个速度仅与r成反比。终究这一步证明是过错的,由于速度V实践上近似地与√r成反比。不过这一批改并不影响蒙蒂克拉的定论,也便是说,在点O无量大的引力和速度的比赛中,引力占有了优势。咱们猜想,在蒙蒂克拉的年代,很少有人可以承受这种或许。但是,在随后的一个世纪他的定论被再次提起,根据是点P通过点O后速度变成了虚数,不过这一证明也被用来支撑欧拉的定论,成果这个虚数速度是虚伪的,由于核算出了错。

点状黑洞

这些理论评论一向乏人关怀,由于引力效果下的直线运动,在地理学上没什么实践使用价值,所以力学研讨者并不放在心上,更甭说这个物体落到引力中心的纯理论问题了。所以这个问题的终究答案很晚才被揭开,直到1930年,保罗·潘勒韦才在《巴黎归纳理工大学力学教程》的第一卷中做出解说。

关于以无量大的速度抵达引力中心的运动质点,他指出,在这一会儿之后,“问题就无法持续评论下去了。”他没有像蒙蒂克拉那样测验用数学办法证明质点会中止在引力中心,虽然后者看似在一切人之前找到了正确答案。质点会中止自身便是力学理论的一部分,而潘勒韦声称在动点抵达引力中心之后,经典力学就力不从心了。关于这一问题,点必须在引力中心中止,而一切关于尔后运动状况的猜想都不具有科学价值。

欧拉和达朗贝尔并没有预见到这样的成果,但要知道的是,即使到了潘勒韦的年代,称雄了两个世纪的牛顿力学在20世纪初遭到了相对论的挑战后,人们仍然很难信任牛顿力学在猜测运动质点抵达引力中心后的状况时是力不从心的。

经典力学无法猜测引力中心会产生什么的切当原因在于,它不答应质点的轨道穿过一个速度和受力都无法界说的点。由于这一点上的数据有问题,不能充任确认质点之后运动轨道的初始条件。经典力学的有效性并没有什么问题。前文说到的保罗·阿佩尔对这个问题的解说,其实便是说,这个长久以来的“扎手的问题”,几乎没有困扰过力学家们,由于这现已超出了力学实践使用的领域。在理性力学中,自在下落的质点的运动必然会停在这个奇点上,这个点就像一个点状的黑洞,终究会“吸收”掉这个质点。

这样一个朴实数学上的黑洞好像与现代天体物理学重视的黑洞相去甚远。牛顿力学系统下,18世纪时就有人预言了后者的存在,最闻名的便是拉普拉斯在《世界系统论》第二卷中的猜测。天体物理学中的黑洞一般很大,例如恒星转化成的那些。它们乃至或许非常巨大,比方那些存在于星系中心的超大质量黑洞。但天体物理学也考虑到或许存在近乎点状的黑洞,比方那些或许出现在世界诞生瞬间、具有量子特性的原初微型黑洞。

事实上,问题的关键在于怎么了解这些奇点。质点以无量大的速度抵达引力中心,在那里迎来了数学上的完结。18世纪的学者们没有意识到,他们猜测质点之后的运动,是在企图让质点重生。现在,不管遇到巨大的仍是点状的黑洞,科学家都知道他们的理论到了极限。假如有人想要知道黑洞的内部产生什么,或是探求世界的诞生,他必定需求新的理论。

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